扫频速率增大时的拍振 / 调制现象

$q=\ddot{y}/\ddot{x}$（绝对加速度比）；左侧可选线性扫频或对数扫频（与汇总表计算器 A02 一致）。下方时域预览：纯正弦 $\ddot{x}$，辛普森 Duhamel $\ddot{y}$（ydd_Simpson）、闭式解析 $\ddot{y}$（ydd_analytic_ZSR），以及误差 $\varepsilon=\ddot{y}_{\mathrm{Sim}}-\ddot{y}_{\mathrm{解析}}$ 曲线与窗口内统计；设 $\Delta t$ 后拖动滑块平移窗口；完整序列请导出 xlsx。

操作建议：在左侧调整 $R$、$\alpha$ 或 $t_s$，对照右侧理论要点阅读 $\eta$、$\Delta N$ 与物理含义。

纯正弦激励 $\ddot{x}=A\sin(\omega t+\varphi)$（当前窗口）

纯正弦 $\ddot{x}=A\sin(\omega t+\varphi)$：绝对加速度 $\ddot{y}(t)$（复合辛普森 Duhamel · 当前窗口）

基座 $\ddot{x}(\lambda)=A\sin(\omega\lambda+\varphi)$，$\ddot{y}$ 由同一 Duhamel 积分给出；$\int_0^t(\cdot)\,\mathrm d\lambda$ 用复合辛普森。子区间数取「按振荡分辨的下限」与「$2\lceil t/\Delta t_{\mathrm{eff}}\rceil$（与 MATLAB target_dtau=Δt/2 剖分一致）」二者较大值，上限见脚本常量（与导出「ydd_Simpson」一致）。

$$\ddot{y}(t)=\omega_0\int_0^t \ddot{x}(\lambda)\,\mathrm{e}^{-\xi\omega_0(t-\lambda)}\left\{\frac{1-2\xi^2}{\sqrt{1-\xi^2}}\sin\big[\sqrt{1-\xi^2}\,\omega_0(t-\lambda)\big]+2\xi\cos\big[\sqrt{1-\xi^2}\,\omega_0(t-\lambda)\big]\right\}\mathrm{d}\lambda$$

纯正弦：解析绝对加速度 $\ddot{y}(t)$（闭式 ZSR，与导出 ydd_analytic_ZSR · 当前窗口）

激励 $\ddot{x}=A\sin(\omega t+\varphi)$；基座位移 $x$ 取由 $\ddot{x}$ 积分且 $x(0)=\dot{x}(0)=0$。质量块绝对位移 $y$ 满足 $\ddot{y}+2\xi\omega_0\dot{y}+\omega_0^2 y=2\xi\omega_0\dot{x}+\omega_0^2 x$（与 $\ddot{x}$ 对应的零初值问题）。下方闭式即该初值问题下的 $\ddot{y}(t)$，与导出列 ydd_analytic_ZSR 一致。

$$\ddot{y}(t)=\frac{(1-h^2+4\xi^2h^2)\sin(h\omega_0 t+\varphi)-2\xi h^3\cos(h\omega_0 t+\varphi)}{(1-h^2)^2+(2\xi h)^2}-h\,\mathrm{e}^{-\xi\omega_0 t}\,\frac{\dfrac{1-h^2+4\xi^2h^2}{\sqrt{1-\xi^2}}\sin(\sqrt{1-\xi^2}\,\omega_0 t)-2\xi h^2\cos(\sqrt{1-\xi^2}\,\omega_0 t)}{(1-h^2)^2+(2\xi h)^2},\quad h=\frac{f}{f_0}$$

误差 $\varepsilon(t)=\ddot{y}_{\mathrm{Simpson}}-\ddot{y}_{\mathrm{解析}}$（当前窗口）

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